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克罗内克积 🍉

20190928-陕西咸阳旬邑

数学上,克罗内克积(Kronecker product)是两个任意大小的矩阵间的运算,表示为⊗ 。克罗内克积是外积从向量到矩阵的推广,也是张量积在标准基下的矩阵表示。 本文来自维基百科(需科学上网)。

外积

外积(英语:Outer product),在线性代数中一般指两个向量的张量积,其结果为一矩阵;与外积相对,两向量的内积结果为标量。 外积也可视作是矩阵的克罗内克积的一种特例。

张量积

在数学中,张量积,记为 ⊗ ,可以应用于不同的上下文中,如向量、矩阵、张量、向量空间、代数、拓扑向量空间和模。在各种情况下这个符号的意义是同样的:最一般的双线性运算。

尽管没有明显证据证明德国数学家利奥波德·克罗内克是第一个定义并使用这一运算的人,克罗内克积还是以其名字命名。确实,在历史上,克罗内克积曾以Johann Georg Zehfuss名字命名为Zehfuss矩阵。

定义

如果A是一个 m × n 的矩阵,而B是一个 p × q 的矩阵,克罗内克积$A \otimes B$ 则是一个 mp × nq分块矩阵

分块矩阵

在数学的矩阵理论中,一个分块矩阵或是分段矩阵就是将矩阵分割出较小的矩形矩阵,这些较小的矩阵就称为区块。换个方式来说,就是以较小的矩阵组合成一个矩阵。

更具体地可表示为

我们可以更紧凑地写为 {\displaystyle (A\otimes B)_{p(r-1)+v,q(s-1)+w}=a_{rs}b_{vw))

例子

特性

双线性和结合律

克罗内克积张量积的特殊形式,因此满足双线性结合律

其中,A, BC 是矩阵,而 k 是常量。

克罗内克积不符合交换律:通常,$A \otimes B$ 不同于 $B \otimes A$ 。

$A \otimes B$ 和是$B \otimes A$排列等价的,也就是说,存在排列矩阵PQ,使得

如果AB是方块矩阵,则$A \otimes B$ 和$B \otimes A$甚至是排列相似的,也就是说,我们可以取P = QT。

混合乘积性质

如果ABCD是四个矩阵,且矩阵乘积ACBD存在,那么:

这个性质称为“混合乘积性质”,因为它混合了通常的矩阵乘积和克罗内克积。于是可以推出,$A \otimes B$ 是可逆当且仅当AB是可逆的,其逆矩阵为:

克罗内克和

如果An × n矩阵,Bm × m矩阵,$\mathbf{I}_{k}$表示k × k单位矩阵,那么我们可以定义克罗内克和$\otimes $为:

假设AB分别是大小为nq的方块矩阵。设λ1,……,λnA特征值,μ1,……,μqB的特征值。那么$A \otimes B$的特征值为:

于是可以推出,两个矩阵的克罗内克积的行列式为:

奇异值

如果AB是长方矩阵,那么我们可以考虑它们的奇异值。假设Ar**A**个非零的奇异值,它们是:

类似地,设B的非零奇异值为:

那么克罗内克积$A \otimes B$有个$r{\mathbf{A}} r{\mathbf{B}}$非零奇异值,它们是:

由于一个矩阵的秩等于非零奇异值的数目,因此我们有:

与抽象张量积的关系

矩阵的克罗内克积对应于线性映射的抽象张量积。特别地,如果向量空间VWXY分别具有基{v1, … , vm}、 {w1, … , wn}、{x1, … , xd}和{y1, … , ye},且矩阵AB分别在恰当的基中表示线性变换S : VXT : WY,那么矩阵AB表示两个映射的张量积ST : VWXY,关于VW的基{v1 ⊗ w1, v1 ⊗ w2, … , v2 ⊗ w1, … , vm ⊗ wn}和XY的类似基。[1]

与图的乘积的关系

两个)的邻接矩阵的克罗内克积是它们的张量积图的邻接矩阵。两个图的邻接矩阵的克罗内克和,则是它们的笛卡儿积图的邻接矩阵。参见[2]第96个练习的答案。

转置

克罗内克积转置运算符合分配律:

矩阵方程

克罗内克积可以用来为一些矩阵方程得出方便的表示法。例如,考虑方程AXB = C,其中ABC是给定的矩阵,X是未知的矩阵。我们可以把这个方程重写为

这样,从克罗内克积的性质可以推出,方程AXB = C具有唯一的解,当且仅当AB是非奇异矩阵。(Horn & Johnson 1991,Lemma 4.3.1).

在这里,vec(X)表示矩阵X的向量化,它是把X的所有列堆起来所形成的列向量

如果把X的行堆起来,形成列向量x,则$A X B$也可以写为$\left(A \otimes B^{T}\right) x$(Jain 1989,2.8 block Matrices and Kronecker Products)。

参考文献

  1. ^ Pages 401–402 of Dummit, David S.; Foote, Richard M., Abstract Algebra 2, New York: John Wiley and Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-36857-1
  2. ^ D. E. Knuth: “Pre-Fascicle 0a: Introduction to Combinatorial Algorithms”, zeroth printing (revision 2), to appear as part of D.E. Knuth: The Art of Computer Programming Vol. 4A
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